Идеальный гармонический осциллятор

После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором k и m содержатся явно.

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начи­нали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегри­рованием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая пока­зывает, что если частица mв начальный момент выведена из рав­новесия, но покоится, то она возвращается к положению рав­новесия. Мы не следили за частицей после того, как она достиг­ла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остано­вится, а будет колебаться (осциллировать). При численном ин­тегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t=1,570.

Идеальный гармонический осциллятор

Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы.
Среди немеханических аналогов гармонического осциллятора можно выделить электрический гармонический осциллятор (см.

Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

,

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

, (1.1.5)

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

, (1.1.6)

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

, или

,

где

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα– комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы

studopedia.su

Гармонический осциллятор.

Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение распадается на три случая.

  • При малом трении ( ) общее решение записывается в виде:

где — частота свободных колебаний.

  • Затухание называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение.

Идеальный гармонический осциллятор уравнение и его решение

Отклонение маятника от положения равновесия будет характеризоваться углом j (рис. 8.7). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту M и угловому смещению j нужно приписать разные знаки.

Следовательно,

. (8.12)

Напишем теперь для маятника уравнение динамики вращательного движения (учитывая, что b – угловое ускорение равно , а ).

Рассмотрим малые колебания ( ) и введем величину , тогда получим

Решением этого уравнения будет функция

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону.

Как следует из формулы , частота колебаний математического маятника зависит только от его длины и величины “g” и не зависит от массы маятника.

Идеальный гармонический осциллятор это

Эта сила называется возвращающей силой. В случае груза на пружине возвращающей силой является сила упругости, в случае математического маятника – составляющая силы тяжести.

Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx, где

– коэффициент возвращающей силы. Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:

(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х=0 энергия Wn=0).

Кинетическая энергияосциллятора:

где , тогда

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, и в случае свободных колебаний без трения сохраняется (рис.1.1.15). Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот.

Гармонические колебания идеальный гармонический осциллятор

  • Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Замечание о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону.

Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону.

Идеальный гармонический осциллятор квазиупругая сила уравнение идеального осциллятора и его решение

Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям.

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Простое гармоническое движение

Движение, совершаемое консервативным гармоническим осциллятором, носит название простого гармонического движения. Это движение не является ни вынужденным, ни затухающим.

Оно периодическое: тело колеблется с частотой ω0 около положения равновесия по синусоидальному закону.

Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

(142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

(142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы.

Примеры колебательных движений различной физической природы

Колебания груза на пружине

Рассмотрим колебания груза на пружине, при условии, что пружина не деформирована за пределы упругости. Покажем, что такой груз будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия (рис.1.1.3). Действительно, согласно закону Гука, сжатая или растянутая пружина создаёт гармоническую силу:

где – коэффициент жёсткости пружины, – координата положения равновесия, х – координата груза (материальной точки) в момент времени , — смещение от положения равновесия.

Поместим начало отсчета координаты в положение равновесия системы.

Гармонический осциллятор.

Систему, описываемую уравнением , где , будем называть гармоническим осциллятором. Решение этого уравнения, как известно, имеет вид:

.

Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Для гармонического осциллятора справедливы все результаты, полученные ранее для гармонического колебания.

Рассмотрим и обсудим ещё дополнительно к ним два вопроса.

Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцируем выражение по t и, умножив полученный результат на массу осциллятора, получим:

.

(8.8)

В каждом положении, характеризуемом отклонением “x”, осциллятор имеет некоторое значение ”p”.

Комментарии 0

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *